数学大神进 盘古开天 2024年12月04日 12:08 13 举报 一个数除以 504 余19， 除以143 余15， 求这个数，有大神知道怎么解吗 复制文案重新抓取 原文地址：http://www.zuanke8.com/thread-9396422-1-1.html版权声明：本站作为免费线报整合平台，文章快照抓取源于网络。临时存储未经验证，本站不参与任何平台活动，请自行甄别，谨防受骗！
已知条件是：
- \( x \equiv 19 \pmod{504} \)
- \( x \equiv 15 \pmod{143} \)
我们需要找到满足这两个同余条件的最小正整数 \( x \)。
### 第一步：检查 \( 504 \) 和 \( 143 \) 是否互质
\( 504 \) 和 \( 143 \) 的最大公约数 \( \gcd(504, 143) = 1 \)，所以它们互质。可以应用中国剩余定理。
### 第二步：设通解
设 \( x = 504k + 19 \)（满足 \( x \equiv 19 \pmod{504} \)），将其代入第二个同余条件：
\[
504k + 19 \equiv 15 \pmod{143}
\]
化简得到：
\[
504k \equiv -4 \pmod{143}
\]
\[
504 \equiv 75 \pmod{143} \quad \text{（计算 \( 504 \div 143 \) 的余数）}
\]
代入简化：
\[
75k \equiv -4 \pmod{143}
\]
### 第三步：求解线性同余方程
等式 \( 75k \equiv -4 \pmod{143} \) 转化为正同余：
\[
75k \equiv 139 \pmod{143} \quad \text{（因为 \( -4 + 143 = 139 \)）}
\]
现在我们需要求出 \( 75 \) 在模 \( 143 \) 下的逆元 \( 75^{-1} \)，即找到 \( m \) 使得：
\[
75m \equiv 1 \pmod{143}
\]
通过扩展欧几里得算法，求得 \( 75 \) 在模 \( 143 \) 下的逆元为 \( 95 \)。
将逆元代入：
\[
k \equiv 139 \cdot 95 \pmod{143}
\]
计算：
\[
139 \cdot 95 \mod 143 = 132
\]
所以 \( k \equiv 132 \pmod{143} \)。
### 第四步：求解 \( x \)
代入 \( x = 504k + 19 \)，并用 \( k = 132 \)：
\[
x = 504 \cdot 132 + 19 = 66547
\]
### 答案：
最小的正整数 \( x \) 是 **66547**。
验证：
1. \( 66547 \div 504 \) 的余数为 \( 19 \)。
2. \( 66547 \div 143 \) 的余数为 \( 15 \)。
已知条件是：
已知条件是：